Samstag, 1. September 2007

Was sind eigentlich Freiheitsgrade?

Im Gespräch mit einem Kollegen kam kürzlich die Frage auf, wie das Konzept der Freiheitsgrade in der statistischen Datenanalyse am besten vermittelt werden könnte, da gerade diesbezüglich das eine oder andere Verständnisproblem zu existieren scheint. Da ich kaum über theoretische Kenntnisse in Pädagogik verfüge, kann ich kaum einschätzen, ob meine „Standarderklärung“ einen hohen didaktischen Nährwert hat – bei meinen Studenten ist die folgende Erklärung aber immer auf offene Ohren gestoßen:

Die Freiheitsgrade geben die Anzahl von Größen eines Systems an, die bei einem feststehenden arithmetischen Mittel unabhängig voneinander variiert werden können. Ihre Bedeutung erklärt sich daraus, dass die Schätzung von Parametern in der Statistik stets eng mit den zur Verfügung stehenden Informationen verbunden ist. Die Anzahl an Informationen für die Schätzung entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade. Da diese Definition recht trocken ist, verdeutlicht man sich das Konzept idealerweise an einem einfachen Beispiel:

Eine kleine Beispielverteilung bestehe aus den fünf Werten 1, 1, 2, 3 und 3. Das arithmetische Mittel dieser Verteilung liegt natürlich bei 2. Wenn nun die erste Zahl von 1 auf 2 geändert würde und die zweite Zahl von 1 auf 0, so läge das arithmetische Mittel immer noch bei 2 – daraus lässt sich schlussfolgern, dass die erste Zahl der geordneten Verteilung völlig frei verändert werden kann, ohne dass sich auch das arithmetische Mittel verändern, solange auch die anderen Zahlen frei verändert werden können. Dieses Beispiel lässt sich nun bis zum letzten Wert der Verteilung fortsetzen – und diesen allerletzten Wert kann man dann nicht mehr frei festlegen, wenn ein bestimmtes arithmetisches Mittel noch erreicht werden soll. Die Beispielverteilung hätte also fünf Werte und vier Freiheitsgrade – vier Werte die unter der Beibehaltung eines bestehenden arithmetischen Mittels noch frei festgelegt werden können.

In meinem SPSS-Foliensatz habe ich dieses Beispiel wie folgt dargestellt:


Merksatz: Die Freiheitsgrade geben die maximale Anzahl an Werten in einer Verteilung an, die beliebig geändert werden können, ohne dass sich das arithmetische Mittel der Verteilung ändert.

Kommentare:

ohnemathelebtesichsleichter hat gesagt…
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ohnemathelebtesichsleichter hat gesagt…

Vielen Dank! In der Stat-Vorlesung verstehe ich ja üblicherweise nichts, aber diese Erklärung ist kurz und einleuchtend.
Eine weiterführende Frage stellt sich mir allerdings: Gilt das System für beliebig hohe n, d.h. gibt es immer n-1 Freiheitsgrade?